Pembuktian Volume Frustum

Dalam geometri, Frustum adalah Perpotongan Kerucut atau Limas yang berada pada dua bidang sejajar, Berikut contoh gambarya :

Bagian yang diarsirlah yang disebut Frustum. okee, lanjuttt, untuk menghitung volume Frustum menggunakan Rumus sebagai berikut :

$ V=\frac{h}{3}\left [ A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}+A_{2}} \right ] $

Keterangan :

h = Jarak tegak lurus antara A1 dan A2 (disebut juga Tinggi Frustum)

A1 = Luas Alas Bawah (Alas Kerucut / Limas Besar)

A2 = Luas Alas Atas (Alas kerucut / Limas Kecil)

Ko Bisa dapet Rumus kaya gitu ? Gimana Dapetnya ? ...

Berikut adalah penurunan rumus untuk Volume sebuah Frustum :

$ V_{1}=\frac{1}{3}A_{1}y $

$V_{2}=\frac{1}{3}A_{2}(y-h) $

Jadi, Untuk mencari Volume Frustum :

$ V=V_{1}-V_{2}=\frac{1}{3}A_{1}y-\frac{1}{3}A_{2}(y-h) $

$ V=\frac{1}{3}A_{1}y-\frac{1}{3}A_{2}y-\frac{1}{3}A_{2}h $

$ V=\frac{1}{3}[(A_{1}-A_{2})y+A_{2}h] $ ------ Persamaan 1

By Similar Solids :

$ \frac{A_{2}}{A_{1}}=(\frac{y-h}{y})^{2} $

$ \sqrt{\frac{A_{2}}{A_{1}}}=1-\frac{h}{y} $

$ \frac{h}{y}=1-\frac{\sqrt{A_{1}}-\sqrt{A_{2}}}{\sqrt{A_{1}}} $

$ y=\frac{\sqrt{A_{1}}}{\sqrt{A_{1}}-\sqrt{A_{2}}}h $

Setelah dirasionalisasikan, maka menjadi :

$ y=\frac{\sqrt{A_{1}}+\sqrt{A_{1}A_{2}}}{A_{1}-A_{2}}h $

Subtitusi ke persamaan 1

$ V=\frac{1}{3}\left [ \left ( A_{1}-A_{2} \right ) \left ( \frac{A_{1}+\sqrt{A_{1}A_{2}}}{A_{1}-A_{2}} \right )+A_{2}h \right ] $

$ V=\frac{1}{3}\left [ \left (A_{1}+ \sqrt{A_{1}A_{2}} \right ) h +A_{2}h \right ] $

$ V=\frac{1}{3}\left [ A_{1}+\sqrt{A_{1}A_{2}}+A_{2} \right ]h $

$ V=\frac{h}{3}\left [ A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}} \right ] $

Sumber : MATHALINO