Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ akar-akar persamaan $ax^{2}+bx+c=0$ , maka berlaku :$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
dan
$x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a}$
Selain itu berlaku juga :
$x_{1}-x_{2}=\frac{\sqrt{D}}{a}$
Pembuktian :
$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}$
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\left (x_{1}+x_{2} \right )^{2}-4x_{1}x_{2}$
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\left (-\frac{b}{a} \right )^{2}-4\left ( \frac{c}{a} \right)$
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{4c}{a}$
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}$
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\frac{D}{a^{2}}$
Jadi
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )=\sqrt{\frac{D}{a^{2}}}$
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )=\frac{\sqrt{D}}{a}$ ... Terbukti
Contoh Soal
Soal SIMAK UI th. 2009 Kode : 951 No. 6)
Misalkan selisih akar-akar $x^{2}+2x-a=0$ dan selisih akar-akar $x^{2}-8x+\left ( a-1 \right )=0$ bernilai sama. Maka nilai perkalian seluruh akar-akar tersebut adalah ...
Pembahasan
Misalkan akar-akar persamaan $x^{2}+2x-a=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$
Misalkan akar-akar persamaan $x^{2}-8x+\left ( a-1 \right )=0$ adalah $x_{3}$ dan $x_{4}$
Maka
$\left ( x_{1}-x_{2} \right )=\left ( x_{3}-x_{4} \right )$
$\frac{\sqrt{4-4a}}{1}=\frac{\sqrt{64-4\left ( a-1 \right )}}{1}$
$4-4a = 68-4a$
$8a = 64$
$a = 8$
Sehingga kedua persamaan kuadrat tersebut menjadi
$x^{2}-2x-8=0$ dan $x^{2}-8x+7=0$
Sehingga perkalian seluruh akar-akar persamaan tersebut adalah
$\left (x_{1}\cdot x_{2} \right )\cdot \left (x_{3}\cdot x_{4} \right )=\left ( -8 \right )\cdot\left ( 7 \right )$
$\left (x_{1}\cdot x_{2} \right )\cdot \left (x_{3}\cdot x_{4} \right )=-56$
