 |
| (c) psikologi.net |
Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis dan terstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unik di antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.
Philosophy of Mathematics, Logic, and the Foundations of Mathematics
Di satu sisi, filsafat matematika berkaitan dengan masalah yang erat kaitannya dengan masalah utama metafisika dan epistemologi. Dahulu, matematika muncul untuk mempelajari entitas abstrak. Hal ini membuat orang bertanya-tanya, apa sifat dari entitas matematika terstruktur dan bagaimana kita dapat memiliki pengetahuan tentang entitas matematika. Jika masalah ini dianggap sebagai bentuk mengada - ada, maka orang bisa mencoba untuk melihat apakah obyek matematika entah bagaimana dapat menjadi bagian dari dunia nyata setelah semua.
Di sisi lain, telah ternyata bahwa untuk beberapa hal adalah mungkin untuk membawa metode matematis untuk dikenakan pada pertanyaan filosofis tentang matematika. Pengaturan yang telah dilakukan ini adalah bahwa dari logika matematika ketika secara luas dianggap sebagai bukti yang terdiri dari teori, teori model, teori himpunan, dan teori komputabilitas sebagai sub-bidangnya. Jadi abad kedua puluh telah menyaksikan penyelidikan matematika konsekuensi dari apa yang di bawah teori filosofis tentang sifat matematika.
Ketika matematikawan profesional prihatin dengan dasar subjek mereka, mereka dikatakan terlibat dalam penelitian dasar.Ketika filsuf profesional menyelidiki pertanyaan filosofis tentang matematika, mereka berkata kepada berkontribusi dengan filosofi matematika. Tentu saja perbedaan antara filsafat matematika dan dasar-dasar matematika adalah kabur, dan semakin banyak interaksi antara filsuf dan ahli logika matematika bekerja pada pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan sifat matematika, semakin baik.
Apa Dasar – dasar Matematika ?
Hirarki dari Konsep
Semua pengetahuan manusia adalah konseptual dan bentuk suatu keseluruhan yang utuh). Manusia Semua pengetahuan yang kontekstual itu (konteks keseluruhan jumlah manusia pengetahuan, yang harus konsisten dan hirarkis (terorganisir dalam sebuah menara atau sebenarnya itu adalah sebagian pemesanan, di mana dasar atau minimal elemen memesan adalah konsep yang paling mendasar, dan tingkat yang lebih tinggi tergantung pada konsep-konsep tingkat lebih rendah).
Referensi: Peikoff Leonard, Objectivism: The Philosophy of Ayn Rand, hal. 121-141.
Dalam keseluruhan yang terpadu dari pengetahuan manusia, kita dapat berfokus pada apa yang biasanya disebut "bidang studi" atau "istimewa". Sebuah bidang studi yang dibedakan oleh suatu kesatuan konseptual tertentu: konsep-konsep yang membentuk lapangan terkait erat satu sama lain dan cukup mandiri sehingga lapangan lends sendiri untuk belajar di isolasi untuk beberapa tujuan. Biasanya jika tidak selalu, seperti ini kesatuan konseptual berikut dari keberadaan subyek yang spesifik, dunia-nyata objek penelitian.
Contoh: Teori rangkaian listrik adalah bidang studi yang dicirikan oleh subyek (sirkuit listrik) dan satu set konsep dasar (resistensi, impedansi, tegangan, dll) yang erat terkait dan dalam arti lengkap, sehingga sirkuit listrik teori lends sendiri untuk belajar sebagai subyek yang dapat dianggap sebagai lebih-atau-kurang mandiri untuk beberapa tujuan. Tapi ini tidak berarti bahwa subjek yang ada di isolasi, karena (1) prinsip-prinsip teori rangkaian listrik harus dirumuskan sedemikian rupa agar sesuai dengan seluruh pengetahuan manusia, dan (2) teori rangkaian listrik memiliki banyak aplikasi dan koneksi ke bidang-bidang studi (teori elektromagnetik, fisika kuantum, akustik, dll).
Matematika
Matematika adalah bidang studi tertentu. Jika Anda meminta saya untuk menjadi lebih spesifik, saya akan mengikuti Aristoteles dan mendefinisikan matematika sebagai "ilmu" kuantitas, dengan kuantitas diinterpretasikan secara luas untuk mencakup tidak hanya jumlah tetapi jumlah yang lebih tinggi juga (matriks, dll) dan tokoh geometri (segitiga, manifold, dll). Ingat juga bahwa, dalam Aristoteles, "kuantitas" merupakan aspek dari realitas fisik (tubuh fisik, waktu, gerak, dll). Jadi, misalnya, ilmu segitiga adalah studi tentang aspek-aspek umum dari semua badan segitiga.
Referensi: Rasul HG,'s Filosofi Aristoteles Matematika.
Definisi matematika mungkin tampak terlalu kuno, tapi saya percaya dapat ditarik untuk menutup tidak hanya kuno tapi juga modern matematika, dan memiliki keuntungan tambahan dengan baik-linked untuk aplikasi dan seluruh pengetahuan manusia.
Seperti bidang studi besar, matematika memiliki beberapa sub-, untuk analisis fungsional misalnya dan geometri aljabar. Masing-masing sub-telah kerangka konseptual sendiri, tetapi mereka semua bagian dari matematika dan ada banyak link di antara mereka, seperti ada adalah link banyak antara matematika dan seluruh pengetahuan manusia. Sesuai dengan butir 1 di atas, semua ini harus konsisten.
Foundations
Jika X adalah setiap bidang studi, "dasar X" mengacu pada sebuah atau kurang-lebih analisis sistematis dari dasar atau konsep yang paling fundamental lapangan X. Istilah "dasar" atau "fundamental" di sini merujuk kepada alam atau memesan hierarki konsep (lihat 1 poin di atas). Sebagai contoh, "dasar-dasar teori rangkaian listrik" akan menjadi penelitian yang tujuannya adalah untuk menjelaskan sifat dari elemen dasar sirkuit yang paling dan aturan-aturan tentang bagaimana mereka dapat digabungkan. Penelitian jenis rangkaian rumit (misalnya penerima radio) akan dirumuskan sebagai aplikasi dari konsep-konsep dasar dan karenanya tidak akan disebut "yayasan" dalam konteks ini.
Dalam sejarah bidang studi tertentu, yayasan sering mengambil waktu untuk berkembang. Pada awalnya konsep dan hubungan mereka tidak mungkin sangat jelas, dan yayasan tidak sangat sistematis. Dengan berjalannya waktu, konsep-konsep tertentu dapat muncul sebagai yang lebih mendasar, dan prinsip-prinsip tertentu dapat menjadi nyata, sehingga pendekatan yang lebih sistematis menjadi sesuai. Contohnya adalah klarifikasi bertahap konsep bilangan real selama berabad-abad, yang memuncak dalam aksioma untuk sistem bilangan real.
Dasar-dasar X belum tentu menarik sebagian besar lapangan X. Tapi yayasan membantu kita untuk fokus pada kesatuan konseptual lapangan, dan memberikan link yang penting untuk aplikasi dan integrasi ke dalam konteks dari sisa pengetahuan manusia .
Dasar-dasar Matematika
Sesuai dengan hal tersebut di atas, "dasar-dasar matematika" berarti studi tentang konsep-konsep matematika dasar (jumlah, nomor, figur yang geometris, dll), bagaimana mengatur konsep ini ke dalam hierarki dan kurang lebih konsep fundamental, bagaimana mengatur dan aksioma aturan bukti untuk matematika, dan dalam fase yang sistematis, studi tentang sifat dan keterbatasan sistem formal tersebut.
Salah satu perkembangan awal penting adalah geometri Kartesius, yang menunjukkan bahwa banyak dari geometri dapat dikurangi untuk aljabar, sehingga aljabar mengambil sebuah peran yang lebih mendasar. Perkembangan lain yang penting adalah arithmetization "analisis" (Weierstrass, Dedekind). Oleh karena itu tidak lagi diperlukan untuk menganggap bilangan real dan fungsi kontinu sebagai dasar, belum dianalisis konsep, melainkan mereka bisa direduksi ke nomor alam. Hal ini membuat memungkinkan axiomatization analisis dalam hal aritmatika urutan kedua (dilakukan secara sistematis oleh Hilbert dan Bernays).
Referensi: Hilbert dan Bernays, Grundlagen der Mathematik, jilid. I dan II.
The Frege-Russell-Hilbert-Gödel-... garis adalah apa yang akan saya anggap sebagai tahap sistematis dasar-dasar matematika. Sebagian besar fase sistematis terjadi pada abad ke-19 dan 20 terlambat.
Apa benar dianggap sebagai dasar dalam satu konteks tidak harus selalu dianggap sebagai dasar yang lain. Misalnya, jika Y adalah subbidang X, maka "dasar-dasar Y" belum tentu bagian dari "yayasan X", karena konsep yang paling dasar Y dapat direduksi menjadi dasar konsep yang lebih bahkan X, karena X menyediakan konteks yang lebih luas.
Contoh: pekerjaan Zariski pada dasar-dasar geometri aljabar, meskipun menarik dan penting, bukan bagian dari dasar-dasar matematika.
Problems
Beberapa masalah filosofi yang menarik perhatian Matematika :
Meaning
Matematikawan menggunakan bahasa khusus untuk membicarakan hal – hal aneh yang ada di Dunia ini, Apa maksudnya ?
Epistimologi
Matematika sering disajikan sebagai pardigm presisi dan kepastian, tetapi beberapa penulis telah menyarankan bahwa ini adalah ilusi. Bagaimana kita bisa tahu kebenaran proposisi matematika?
Ontologi
Apa hal-hal aneh yang matematikawan bicarakan? Apakah mereka benar-benar ada?? Bagaimana kita bisa memberitahu Apa itu penting?
Aplikasi
Bagaimana pengetahuan tentang matematika abstrak diterapkan di dunia nyata?
Computing
Apa implikasi untuk matematika dari revolusi informasi? Apa yang bisa matematika
berkontribusi?
Filsuf
Beberapa Filsuf yang Berkontribusi dalam Filsafat Matematika
Plato
paling conspicious kontribusi Plato ke Filsafat Matematika keprihatinan status ontologis dari entitas matematika. Sebagai hasil dari itu doktrin Plato tentang bentuk, "Platonisme" adalah istilah yang sekarang digunakan untuk menggambarkan realisme ekstrim dalam hal entitas matematika.
Aristotel
Mungkin yang paling signifikan kontribusi Aristoteles ke wilayah ini adalah karyanya pada logika. 's logika Aristoteles dianggap sebagai definitif selama lebih dari dua ribu tahun sampai Frege dikembangkan nyaBegriffsscrift , diterbitkan pada tahun 1879.
Aristoteles bukan Plato matematika menyeluruh. Dia rupanya dilihat kebenaran matematika sebagai hipotetis kebenaran perlu, posisi efektif diterapkan dalam abad ini oleh Russell. Aristoteles mungkin merupakan filsuf pertama yang menarik bewteen perbedaan dan potensi tak terhingga yang sebenarnya.
Leibniz
Leibniz mungkin kredit karena untuk pertama memiliki berpendapat bahwa matematika dasarnya logika tersebut. Dampak ini posisi nya agak diencerkan dengan memegang semua kebenaran yang diperlukan. Pada kenyataannya, logika pada zamannya, pada dasarnya bahwa Aristoteles, tidak memadai sebagai dasar untuk matematika. Ia tidak sampai karya Frege, Russell dan Whitehead ( Logicism ) bahwa aspirasi ini dapat direalisasikan (dalam hubungannya dengan matematika).
Kant
Kant memperkenalkan perbedaan antaraAnalitik dan sintetik proposisi dan berpendapat bahwa kebenaran matematika adalah apriori tapi sintetis. pandangan-Nya tentang status matematika karena itu bertentangan dengan orang-orang dari Leibniz dan Logicists.
Brouwer
Brouwer adalah tokoh utama dalam pengembangan intuisionisme , suatu gerakan yang mengatur wajah terhadap logika predikat dikembangkan oleh Frege dan digunakan oleh matematika, dalam upaya untuk membangun matematika secara lebih sehat didasarkan pada "konstruktif" prinsip-prinsip.
Frege
Frege, bapak logika modern, diciptakan (pada intinya, detail notational terpisah) kalkulus predikat modern. Dia mengucapkan doktrin Logicism , bahwa matematika adalah logika, dan (pembatas beberapa detail kecil seperti konsistensi) menunjukkan bagaimana ini bisa berhasil terinci.
Hilbert
Hilbert adalah seorang ahli matematika terkemuka yang mengajukan program kerja untuk menjamin dasar-dasar matematika yang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan Logika Matematika selama bagian pertama abad ini. Hilbert diusulkan bahwa dengan studi metatheoretic sistem logis konsistensi matematika modern harus dibentuk dengan cara yang secara logis tidak kontroversial. Program ini kemudian dikenal sebagai Formalisme.
Russell
Terinspirasi, setidaknya sebagian, oleh Leibniz, besar kontribusi's Russell dengan filosofi dari matematika adalah dalam upaya untuk mendirikan Logicist tesis diartikulasikan dalam Prinsip-Prinsip Matematika , ia Teori Jenis yang digunakan dalam kolaborasi dengan ANWhitehead untuk menunjukkan tesis logicist dalamPrincipia Mathematica.
Wittgenstein
Wittgenstein memulai studi filsafat di bawah Bertrand Russell di Cambridge, dan mempublikasikan karya pertama, juga disertasi doktoralnya, setidaknya sebagian logis materi pelajaran tersebut. Ketika Wittgenstein kemudian kembali ke filsafat ia menolak pekerjaan ini. Ia kemudian menulis banyak catatan dasar-dasar matematika yang diterbitkan secara anumerta. ini menentang summarisation ringkas. Mereka termasuk diskusi tentang apa itu mengikuti aturan, sifat proposisi matematika dan bukti, dan juga beberapa bantalan diskusi atas ketidaklengkapan Gödel hasil itu.
Lakatos
Kontribusi Lakatos dengan filosofi dari matematika adalah luar biasa dalam sejauh mana ia menarik pada pengamatan praktek matematika. Tema sentral Nya tampaknya kritik dari penyajian matematika sebagai upaya deduktif mengakibatkan pertambahan monoton dari indusputable dan tidak berubah kebenaran matematika. Dalam Lakatos klaim kebenaran, metode yang digunakan adalah heuristik ( tidak deduktif), verities kekal membuktikan sulit dipahami. Lakatos efektif tempat matematika di samping ilmu-ilmu fisik dimana teori apapun dapat menjadi yang terbaik merupakan pendekatan untuk kebenaran [. Lakatos]
Daftar Pustaka
http://id.wikipedia.org/wiki/Filsafat_matematika
http://coretankelambu.wordpress.com/2008/05/
21/menemukan-jawaban-di-balik-dunia-matematika-dengan-filsafat-matematika/
http://marsigitphilosophy.blogspot.com/2008/12/kedudukan-filsafat-matematika.html
http://www.math.psu.edu/simpson/hierarchy.html
http://www.rbjones.com/rbjpub/philos/maths/
Hilbert dan Bernays, Grundlagen der Mathematik, jilid. I dan II.
Peikoff Leonard, Objectivism: The Philosophy of Ayn Rand, hal. 121-141.
Rasul HG,'s Filosofi Aristoteles Matematika.
